2011年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学（必修+选修II）
 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。   
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题
1．设集合U= ,  则
 A．    B．    C．     D．
2．函数 的反函数为
 A．               B．
 C．               D．
3．权向量a,b满足 ,则
 A．     B．     C．     D．
4．若变量x、y满足约束条件 ，则 的最小值为
 A．17       B．14         C．5          D．3
5．下面四个条件中，使 成立的充分而不必要的条件是
 A．   B．  
 C．   D．
6．设 为等差数列 的前n项和，若 ，公差为 ，则k=
 A．8 B．7 C．6 D．5
7．设函数 ，将 的图像向右平移 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则 的最小值等于
 A．      B．       C．      D．
8．已知二面角 ，点 C为垂足，点 ，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=
 A．2 B．  C．  D．1
9．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有
 A．12种 B．24种 C．30种 D．36种
10．设 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时， = ，则 =
 A．-      B．     C．     D．
11．设两圆 、 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离 =
 A．4    B．    C．8     D． 
12．已知平面 截一球面得圆M，过圆心M且与 成 ，二面角的平面 截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4 ，则圆N的面积为
 A．     B．     C．     D．
   
第Ⅱ卷

注意事项：
1．答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考  证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。
2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。
3．第Ⅱ卷共l0小题，共90分。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上（注意：在试卷上作答无效）
13．（1- ）10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为:       ．
14．已知a∈（ ）， =      
15．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为
             。
16．已知F1、F2分别为双曲线C:  -  =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| =        ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上作答无效）
设等比数列 的前n项和为 ,已知  求 和

18．（本小题满分2分）（注意：在试题卷上作答无效）
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若

19．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效）
        根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。
   （I）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种概率；
   （II）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率。

20．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效）
如图，四棱锥 中，  , ，侧面 为等边三角形，
 ．
   （I）证明： 平面SAB；
   （II）求AB与平面SBC所成的角的大小。

21．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数 
   （I）证明：曲线 处的切线过点（2，2）；
   （II）若 处取得极小值， ，求a的取值范围。

22．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知O为坐标原点，F为椭圆 在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为 的直线 与C交与A、B两点，点P满足
（Ⅰ）证明：点P在C上；
   （II）设点P关于O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上。

参考答案

评分说明：
    1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。
    2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给力，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
    3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
    4．只给整数分数，选择题不给中间分。
一、选择题
1—6  DBBCAD  7—12  CCBACD
二、填空题
13．0  14．   15．   16．6
三、解答题
17．解：设 的公比为q，由题设得
        …………3分
解得   …………6分
当
当  …………10分
18．解：
   （I）由正弦定理得   …………3分
    由余弦定理得
    故   …………6分
   （II）
       …………8分
    故
       …………12分
19．解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；
    B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；
    C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；
    D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；
    E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买。
   （I）   …………3分
       …………6分
   （II）  …………9分
       …………12分
20．解法一：
   （I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，
    连结SE，则
    又SD=1，故 ，
    所以 为直角。  …………3分
    由 ，
    得 平面SDE，所以 。
    SD与两条相交直线AB、SE都垂直。
    所以 平面SAB。  …………6分
   （II）由 平面SDE知，
    平面 平面SED。
    作 垂足为F，则SF 平面ABCD，
    
    作 ，垂足为G，则FG=DC=1。
    连结SG，则 ，
    又 ，
    故 平面SFG，平面SBC 平面SFG。 …………9分
    作 ，H为垂足，则 平面SBC。
     ，即F到平面SBC的距离为
    由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也有
    设AB与平面SBC所成的角为α，
    则   …………12分
    解法二：
    以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz。
设D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。
又设
   （I） ， ，
由 得
 
故x=1。
由
又由
即   …………3分
于是 ，
 
故
所以 平面SAB。
   （II）设平面SBC的法向量 ，
则
又
故   …………9分
取p=2得 。
 
故AB与平面SBC所成的角为
21．解：（I）   …………2分
由 得曲线 处的切线方程为
由此知曲线 处的切线过点（2，2） …………6分
   （II）由
   （i）当 没有极小值；
   （ii）当 得
 
故 由题设知
当 时，不等式 无解。
当 时，解不等式
综合（i）（ii）得a的取值范围是  …………12分
22．解：（I）F（0，1）， 的方程为 ，
代入 并化简得
    …………2分
设
则
 
由题意得
所以点P的坐标为
经验证，点P的坐标为 满足方程
 故点P在椭圆C上。  …………6分
   （II）由 和题设知， 
PQ的垂直一部分线 的方程为
   ①
设AB的中点为M，则 ，AB的垂直平分线为 的方程为
   ②
由①、②得 的交点为 。  …………9分
 
故|NP|=|NA|。
又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，
所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，
由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上 …………12分