2011年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题卷（文史类）

满分150分  考试时间120分钟

注意事项：
    1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
    2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
    3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
    4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
    5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在等差数列 中， ， ＝
 A．12 B．14 C．16 D．18
2．设 ，则 =
 A．[0，2]  B．
 C．   D．
3．曲线 在点（1，2）处的切线方程为
 A．                B．
 C．                   D．
4．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）
125    120    122    105    130    114    116    95    120    134
则样本数据落在 内的频率为
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
5．已知向量 共线，那么 的值为
 A．1          B．2             C．3        D．4
6．设 的大小关系是
 A．  B．  C．  D．
7．若函数  在 处取最小值，则
 A．          B．            C．3        D．4
8．若△ 的内角， 满足 ，则
 A．       B．   C．         D．
9．设双曲线的左准线与两条渐近线交于  两点，左焦点在以 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为
 A．    B．      C．       D． ，
10．高为 的四棱锥 的底面是边长为1的正方形，点 、 、 、 、 均在半径为1的同一球面上，则底面 的中心与顶点 之间的距离为
 A．         B．       C．      D．
二、填空题，本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上
11． 的展开式中 的系数是                 
12．若 ,且 ，则         
13．过原点的直线与圆 相交所得弦的长为2，则该直线的方程为             
14．从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为                
15．若实数 的最大值是        
三、解答题，本大题共6小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）
设 是公比为正数的等比数列， ， 。
   （Ⅰ）求 的通项公式；
   （Ⅱ）设 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列 的前 项和 。

17．（本小题满分13分，（I）小问6分，（II）小问7分）
某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：
   （I）没有人申请A片区房源的概率；
   （II）每个片区的房源都有人申请的概率。
18．（本小题满分13分，（I）小问7分，（II）小问6分）
设函数
   （1）求 的最小正周期；
   （II）若函数 的图象按 平移后得到函数 的图象，求 在 上的最大值。

19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小题5分，（Ⅱ）小题7分）
设 的导数为 ，若函数 的图像关于直线 对称，且 ．
   （Ⅰ）求实数 的值
   （Ⅱ）求函数 的极值

20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）
     如题（20）图，在四面体 中，平面ABC⊥平面 ，
   （Ⅰ）求四面体ABCD的体积；
   （Ⅱ）求二面角C-AB-D的平面角的正切值。
 

21．（本小题满分12分。（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
如题（21）图，椭圆的中心为原点0，离心率e= ，一条准线的方程是
   （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
   （Ⅱ）设动点P满足： ，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为 ，问：是否存在定点F，使得 与点P到直线l： 的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由。
 
题（21）图

参考答案

一、选择题
1—5 DAACD    6—10 BCDBA
二、填空题：
11．240
12．
13．
14．
15．
三、解答题：满分75分
16．（本题13分）
解：（I）设q为等比数列 的公比，则由 ，
即 ，解得 （舍去），因此
所以 的通项为
   （II）
           
17．（本题13分）
解：这是等可能性事件的概率计算问题。
   （I）解法一：所有可能的申请方式有34种，而“没有人申请A片区房源”的申请方式有24种。
记“没有人申请A片区房源”为事件A，则
 
解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.
记“申请A片区房源”为事件A，则
由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，没有人申请A片区房源的概率为
 
   （II）所有可能的申请方式有34种，而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有
 种.
记“每个片区的房源都有人申请”为事件B，从而有
 
18．（本题13分）
解：（I）
 
故 的最小正周期为
 
   （II）依题意
 
当 为增函数，
所以 上的最大值为
19．（本题12分）
解：（I）因
从而
即 关于直线 对称，从而由题设条件知
又由于
   （II）由（I）知
 
 
令
当 上为增函数；
当 上为减函数；
当 上为增函数；
从而函数 处取得极大值 处取得极小值
20．（本题12分）
解法一：（I）如答（20）图1，过D作DF⊥AC垂足为F，
故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF
是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点，
则由AC=AD，知AG⊥CD，从而
 
由
故四面体ABCD的体积
   （II）如答（20）图1，过F作FE⊥AB，垂足为E，连接DE。由（I）知DF⊥平面ABC。由三垂线定理知DE⊥AB，故∠DEF为二面角C—AB—D的平面角。
    在
    在 中，EF//BC，从而EF：BC=AF：AC，所以
    在Rt△DEF中，
    解法二：（I）如答（20）图2，设O是AC的中点，过O作OH⊥AC，交AB于H，过O作OM⊥AC，交AD于M，由平面ABC⊥平面ACD，知OH⊥OM。因此以O为原点，以射线OH，OC，OM分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，可建立空间坐标系O—xyz.已知AC=2，故点A，C的坐标分别为A（0，—1，0），C（0，1，0）。
    设点B的坐标为 ，有

    
    即点B的坐标为
    又设点D的坐标为 有
    
    即点D的坐标为 从而△ACD边AC上的高为
    又
    故四面体ABCD的体积
   （II）由（I）知
    设非零向量 是平面ABD的法向量，则由 有
         （1）
    由 ，有
         （2）
    取 ，由（1），（2），可得
    显然向量 是平面ABC的法向量，从而
    
    即二面角C—AB—D的平面角的正切值为
21．（本题12分）
解：（I）由
解得 ，故椭圆的标准方程为
 
   （II）设 ，则由
 得
 
因为点M，N在椭圆 上，所以
 ，
故
           
设 分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知
 因此
所以
所以P点是椭圆 上的点，该椭圆的右焦点为 ，离心率 是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点 ，使得|PF|与P点到直线l的距离之比为定值。